（ 转）晚睡原来是一种病——拖延症 (Procrastination)

（ 转）晚睡原来是一种病——拖延症 (Procrastination) 

Procrastination的形成 

1． 一个人认为自己5天之内可以做完一件事情，所以在离deadline还有15天的时候一点不着急，直到最后只剩5天了才开始。 

2． 这种紧迫感和焦虑往往促发人的斗志，会让自己觉得，自己只有在压力状态下才有做事情的状态。 

3． 最后拿到成绩的时候，成绩往往不是很差，这样子就强化了自己最适合在deadline之前短期高压的状态下工作的心态，并且对以后的行为不断进行自我暗示。 

这一个部分写得非常符合大部分有拖沓习惯的中国学生的经历。因为中国学生往往非常聪明，所以哪怕最后只剩一点点时间了，也会完成得不错；从而自认为自己最适合这样子的工作状态。周而复始，反复循环。 

Procrastination的其他特点 

1． 没有自信。因为每次完成任务都达不到自己最高的能力，对自我能力的评估会越来越低。 
2． 我太忙。我一直拖着没做因为我一直很忙。 
3． 顽固。你催我也没有用。我准备好了自然会开始做。 
4． 操控别人。他们着急也没用，一切都要等我到了才能开始。 

5． 对抗压力。因为每天压力很大，所以要做的事情一直被拖下来。 

6． 受害者心态。我也知道自己怎么会这样，别人能做得自己做不到。 

Procrastination的浅层原因 

1． 太难 

2． 太耗时间 

3． 没有相关知识技能 

4． 害怕别人知道自己做不好 

Procrastination深层原因，以及解决方法 

1．
完美主义。所有事情都要达到一个很高的境界，要一次做好，所以不愿意匆匆忙忙开始，要万事俱备才行。解决方法：对自己说现在的状态就已经很好，可以开始
了。每有一点进展都鼓励自己。意识到一点错误都不犯是不可能的。伟大的作家，诗人，艺术家都是断断续续完成他们的杰作的，自己也可以如此。 

2． 抵制与敌意。这个老师对我态度太差了，所以我不高兴作他布置的作业。解决办法：要意识到，不完成作业受害的是自己。不能仅仅因为一个老师的态度而影响到自己的前途。 

3．
容易颓废。任务太难了，或者别人都不需要做我干吗要做，不能忍受持续做这件事情，等明天再做吧。但是往往明天到了，心里还是不高兴做，又继续往后推。解决
办法：寻找一切可以找到的帮助，设法降低事情的难度，取得进展；暂时推迟自己想要放弃的心态，每天能多做一点就多做一点。这一点也很符合很多中国学生的现
状。因为不是人人都对自己的课题感兴趣的，所以容易产生厌倦感，所以不容易定下心来完成相关任务。解决的办法如上所说，向别人寻求帮助，听取建议，同时可
以把任务分成比较容易的小块，化整为零，告诉自己其实每一个小部分都很容易就能完成。 

4． 自我贬低。如果常常不能很好地完成任务，自己对自己的能力的估计会越来越低，即使以后完成好了，也认为是运气。解决办法：接受别人对自己工作的赞扬；自己对自己进行勉励。 

治疗的步骤： 

1． 意识到自己的拖沓是完全没有必要的。 

2． 把拖沓的原因一条条写出来 

3． 一条条克服这些原因 

4． 开始做事 

本文译自 Procrastination: Ten Things To Know 。 

拖拉是阻碍个人成功的绊脚石，却时常出现在我们左右。 

作者是两位对拖拉 (Procrastination) 进行研究的心理学教授，希望大家能从中有所收获， 
译者MetalDudu@Blog 

1. 百分之二十的人认为自己是长期拖拉的人。对他们来说拖拉是一种生活方式，虽然并不适应它。这种状态充满了他们的生活。他们不能按时付帐单，他们忘了买音乐会的门票，他们直到圣诞前一天才去买礼物…… 

2. 拖拉并非不重要，虽然通常我们不把它当作一个严重问题。它其实是一个自我调节的深奥问题。通常我们都宽容别人拖拉的借口，这也是问题的根源。 

3. 拖拉并不是时间管理或者计划方面的问题。拖拉并不因个人对时间的估计能力而不同，虽然这些人会更乐观一些。Ferrari 
博士强调说：“要一个拖拉的人做一个有计划的人，就像让一个长期消沉的人马上振奋起来一样。” 

4. 拖拉不是天生的。它是从周围的人学来的，但并不直接。它可能来自强权的家教，拖拉甚至可能是一种反抗的形式。这种家庭环境下，朋友对拖拉者的宽容会助长这种习惯。 

5. 拖拉的饮酒者会有更高的酒精需求量。拖拉的人会喝的更多，这是自我调节有问题的表现。 

6. 拖拉的人对自己撒谎。比如“我更想明天做这件事”，或者“有压力我才能做好”，但实际上并非如此。拖拉者的另一个谎言是时间压力会让他们更有创造力，其实这只是他们的感觉而已，他们是在挥霍时间。 

7. 拖拉的人不断找消遣的事儿，特别是自己不需要承诺什么。查看电子邮件就是绝佳的目标，这样的事情成为他们调节情绪（比如害怕失败）的一个途径。 
8. 拖拉并非一模一样。拖拉的人有不同的原因，Ferrari 博士定义了三种基本的拖拉者： 

* 鼓励型，或者说找刺激型，他们盼着最后几分钟忙碌带来的快感 

* 逃避型，他们回避失败的恐惧，甚至害怕成功，但实际上他们非常关心别人怎么看自己，他们更希望别人觉得他不够努力而不是能力不足。 

* 决心型，他们没法下决心。不下决心就可以回避对应对事情的拖拉。 

9. 拖拉带来的损失巨大。健康是其中之一，研究表明拖拉的人更容易患病。拖拉也影响人的情绪，也会破坏团队协作和人际关系。 

10. 拖拉会改变人的行为，但不会耗费多少精神力量。这并不意味着一个念头就能马上改变。这个问题可以通过高度规范的认知行为治疗来解决。 
对
行事拖拉的人进行劝诫就如同让抑郁症患者高兴起来那么困难。”法拉利教授认为，劝导对拖拉症患者来说作用微乎其微，关键还是要靠自己下定摆脱拖拉惯性的决
心，这需要很大的精神动力才能完成。试着结合以下10个窍门，可能会更容易一些。记住，每达到其中一项，你就离成功进了一步。 

明日复明日 “拖延病”的处方 

case 1：我经常担心事做的不够完美。但尽力做了完美主义者，可做事的效率不是很高。经常接到任务以后，心里想的是尽快完成，可总是一拖再拖。为什么？ 

→病名：担心引起的拖延病。 

→处方：总想把事情做的完美一些，但压力越大就越担心做不好事迟迟不敢付出行动。总是把万事的结果定为，不是成功就是失败、只要作错了一点，做的再好也都是错的。出了事就算不是自己的责任也会揽到自己身上。 

首先得醒悟“自找担心”是多么消极的事情。 

假如，在准备报告时，最初就能写出完美的报告是不可能的。一定会有一些偏差也有理论上说服力较小的地方。所以，完美是不存在的。追寻一下到现在为止你所做过是事有多少事是完美的，一定没有特别完美的事。但一定也没耽误什么事。 

case 2：一旦接到什么任务总会担心“我一定能做好吗？做错了教授会不会责备我？”在想这些的时候时间已悄悄溜走了。 

→病名：自我指责的拖延病 

→
处方：对过去一些失败的记忆会变成一种压力。想治好自我指责的病，可以把责任都推托到别人身上。不要因为善良的自卑感而把一切问题都自己扛。这样只会让你
的自信心下降。轻视自己之前先把责任都推到别人身上吧！然后，用另一种方式解释自己的失败。比如：在小组功课中有了一个好的创意。但因为没有时间，结果在
报告中露掉了。在这种情况发生的时候，如果是自我指责的人就会想：“哎！因为没有发表这个创意，以后教授知道了会不会扣我的学分呢？”取代上面想法的应该
是“我真了不起，能有这么好的创意。”或“下次写报告时用就可以了。那一定比这次轻松多了。” 

case 3：我特别的执着，一旦问题袭来的时候就感到不安和急躁。问题解决之前做不好任何事情。 

→病名：执着引起的拖延病 

→
处方：“怎么会这样？”“到底那时候为什么那么做？”即使在过去的事情里找原因也不会有什么改变。澄清一件事也解决不了问题。因为事情是由几种因素合成
的。什么时候才能把事情一一都弄清楚呢？在公司写企划案的时候写不好的原因也有很多种。期限太短或过去写过一次结果被上司责骂了一顿，留下了创伤。还有就
是还没找到资料等等。澄清问题对以后没有任何帮助。所以，要往可以解决问题的方向行动。做企划案时应该想：“这次应该跟其他公司比较着做看看了。”如果这
样想着行动的话一定有效。 

case 4：我总是没有自信，怎么努力也改不了。为了从苦海中摆脱出来看过不少有关的书籍但都徒劳无功。因为没有自信做起事也不顺利。不知道能不能改变一下这样的我。 

→病名：封闭自我印象引起的拖延病 

→
处方：在苦恼的边缘走不出来的人是因为被自己错误的想法封锁住了。一定要从误区的牢笼里走出来。为了打破错误的想法扪心自问一下自己“假如，我是能做到
○○事的人，应该先想些什么？先做些什么？”假如，做报告的时候，因为忙于某些事迟迟没做出来。这时，应该想“如果我是个做报告的能手，应该先做什么事
呢？”考试成绩不好，但还得向父母交代的时候应该想“假如，我是个成绩不好，但能向父母主动表白的人，应该先做什么事？” 
想这些问题的时候，不能用太长的时间。第一个想到的就是正确答案。所以直接实第一个想法就可以了。 

case 5：我在所有决定中没有自信。当决定了做某件事的时候，往往因为不确定是对的还是错的而烦恼。这样一来事就一拖再拖。不是因为我懒，而是因为每次都不能付出行动。所以人们都说我办事的效率不高。 

→病名：不安感或懒惰引起的拖延病 

→
处方：你在想自己的想法对不对那是因为“为了想这个办法用了那么长时间，付出了那么大的努力，但要是失败了怎么办？就不就功亏于溃了吗？”因为这些不安感
一直浮现在脑海里。所以不想做任何事情。假如，要学习但桌子很乱找书都很不容易。明知道应该收拾一下，但怕麻烦迟迟不行动。这时候，父母要唠叨个不停，就
有了叛逆的心理更是不收拾。这时你应该冷静下来好好想一想。是打扫一下好还是睁一只眼闭一只眼过的好。然后再决定。把最初的想法扭转过来很难，但一旦习惯
了就觉得行动比拖延更轻松

学术界的标准杯具

自以为正在写的paper 有个lemma 延伸下去说不定可以容易地证明人家的结果，暗爽了一早上。结果一查，人家paper 里就有你这个lemma，而且人家就这么延伸了八十多页才证出来的…… 于是无奈地把自己的lemma 前面加上别人的名字，完了发现前面另外一个lemma 用的是同一个证明，又不得不说我的证明借鉴某某用过的证明方法。MMD 明明是我想了n 久自己想出来的……

QQ 麻将打出小相公了……

 

有图为证。天意让我好好学习，阿弥陀佛。

 

拓扑学家干什么？

 

最近被问得最多的是拓扑有什么用。去年被签证官逼出来的标准回答“研究宇宙的形状”越来越站不住脚了。今天偶然翻到以前一个收藏网页，如果听得懂英语可以看看，这样能对拓扑学家的尸位素餐浪费纳税人金钱有更形象的认识。有一个讲双曲空间的在youtube，叫not knot，国内要看就难些了。

 

http://video.google.com/videoplay?docid=-6626464599825291409 关于在某些限制下，如何把一个球面从里面翻到外面去

物理学家干什么？（转）

 

转自帮主的blog。因为关于数学家干嘛，其实也是差不多，所以大概能回答非学术的同志很多问题……

物理学家干什么

作者：同人于郊

 

     其实我是一个物理学家。
　　
　　Physicist 这个词，翻译成“物理学家”并不是特别恰当，中文一说“家”就太庄重，这就好比说“练武术的”跟“武术家”的含义完全不同一样。如果效法那本英国通俗杂志《The Economist》的译法，翻译成“物理学人”，似乎又太秀气。我认为最好的译法应该是“干物理的”，不过我的确更喜欢“物理学家”这个称呼。所以我实际上是个干物理的，我干的很一般，是个普通物理学家。
　　
　　不搞科研的人往往不知道物理学家是干什么的，我以前也不知道。我上高中的时候中国流行一套《第一推动》丛书，我看了这套书之后认为物理学是最好的工作，就决心学物理。我认为干物理就是为了理解宇宙，为了人类至高无上的好奇心而工作。物理学是伟大的，因为它追求的是统一理论，物理学也是有趣的，因为有量子力学。

　　这些肉麻的话一直到多年以后的今天我仍然认为是正确的，正如一个小孩说太阳是圆的，这个看法也是正确的一样。外人谈物理学家，甚至很多物理系研究生谈物理学家，常常是这样动不动就抒情的文艺腔。物理行业产生了很多英雄人物，使得人们总是用或者高山仰止或者“XXX也不过如此”的极端语气谈物理学家，而我认为这种看法是不健康的。
　　
　　本文想要说的是，抒情描写并不是“物理学家干什么”这个问题的全部答案。一个真实的物理学家不仅仅关心物理，他也关心“自己”。
　　
　　真实的物理学家只关心未知的物理。物理学家的工作不是学物理，而是“发现”新物理。喜欢看物理科普的都是“物理粉丝”，喜欢看物理书的都是“物理系学生 ”。真实的物理学家只爱看论文，他看论文的时候不是为了欣赏别人论文写的好，而是为了看看自己能从中得到什么灵感，好作出自己的工作。
　　
　　物理这个行业干的事情很象当初欧洲探险者四处航海追求首先发现某个新大陆。“谁先发现的”，这个问题比什么都重要。物理行业是个高度竞争的行业，正如一个筋疲力竭的探险者不仅仅是为了旅游观光一样，一个起早贪黑搞科研的物理学家，他绝对不仅仅是为了“好奇”，更是为了“先”发现。
　　
　　可能有人认为文人相轻，理工科的人应该全部意见一致，其实真实的物理学家们一向都是吵来吵去。一个最有意思的现象是物理学术会议上作报告。别人给你提的问题，很少有人是因为对你的工作好奇，很多时候人们提问或者是质疑你的学说，或者是提醒你怎么没有提到他自己的相关工作。而有一点几乎可以肯定，那就是你的对手一定会提问。我最近看到有人说两个物理学家在 APS 上吵得面红耳赤像小人，其实面红耳赤才是真正的物理学家。
　　
　　写在课本上在课堂上教的东西其实应该叫做“物理知识”，真正的物理学充满变数，是物理学家们的战场。
　　
　　用“江湖”来形容物理行业是个很恰当的比喻。各个组就好像不同的门派一样，各个老头子就好像表面上道貌岸然其实明争暗斗的武林宗师一样。跟文人江湖不同的一点是，物理江湖有清晰的胜负。随着时间过去，对错都会有个说法。可见跟物理学家的争斗相比，文人们的骂战就好像聊天一样。
　　
　　工作几年以来，我发现对我搞科研勤奋程度刺激最大的“非物理因素”，可能是各种会议。对于第一次参加物理会议的研究生来说，可能只有跟自己课题相近的东西最有意思。而对一个物理学家来说，学术会议简直跟比武大会差不多。你会发现很多人的工作都是没什么价值的灌水，你会发现有的老头子一张图讲了好几年，你甚至会发现有些人的结果更本就是错的。当然更重要的是你会发现很多人的确作出了非常漂亮的工作。
　　
　　不过对一个真实的物理学家来说，开会最有价值的发现可能莫过于发现别的组正在做一个你也在做的东西！比赛开始了。谁先做出来就是谁做的。我曾经有过几次这样的经历，很刺激。有一次是我本来想做，看到别人已经做了，我只好不做。另一次是我做的差不多了，突然看到别人也在做，赶紧完成文章突击发表。
　　
　　学了好几年又干了好几年物理之后，我仍然发现物理是世界上最好的工作。毛主席说有三个其乐无穷的“奋斗”，物理行业里面全有。有门派有斗争的行业很多，但足球运动员通常在30 多岁就退役，而物理学里边既有年轻人又有老头子，而且开会的时候都平等对话。的确生物化学也是一种学术行业，但只有物理行业里面才有这么多既重要有有趣的东西可做。更何况物理学家们经常干一些特别惊人的事情，比如说 LHC，NIF，各种巨大的望远镜，和 ITER。
　　
　　入行刚开始的时候，也许你只想尽快发 PRL。等你发过 PRL 之后，你想要的是一次真正的突破性发现。可能有人会说这是一个非常功利的态度，我认识很多物理学家，我从未认识一个没有这种功利态度的物理学家。
　　
　　最后，我想谈谈如果一个物理研究生有志于成为一个真正的物理学家，他不应该干什么。如果你的目标是真正的物理学家：
　　
　　第一，你不应该把“热爱”物理，混淆于自己擅长物理。绝大多数热爱足球的人是球迷。热爱物理并不是一个特别值得吹嘘的个人品质。从事物理学需要的是技能，不是感情。
　　
　　第二，你不应该在博客上谈论那些前辈物理英雄们的“风雅趣闻”。据说有一个16岁的中国篮球队员到美国参加训练营，乔丹来了，他很想上去要签名，而他的教练阻止了他。教练说你的目标是将来超过他，你不是粉丝。我们不敢说超过费曼，但我们是费曼的同事，他们是费曼的粉丝。
　　
　　第三，你不应该把物理行业“神圣化”。物理是世界上最好的工作，但物理仅仅是一个“工作”。另外，你同学去华尔街，你干物理，世界并不因此欠你什么。干物理不是援藏，不是什么神圣的牺牲。
　　
　　第四，你不能自诩聪明。你必须非常努力才能得到一个以物理为生的权利。实际上这几乎是一种特权，很多人想得得不到。当然物理行业竞争激烈，得不到也不丢人。

金像奖怪梦

今天快要醒来的时候做的一个鬼古梦，显然是前两天看了金像奖的缘故…… 整个梦都好像在看电影，或者系咩我猜我猜，清晰无比……

空屋。

刚油刷好，主人还没搬进来，所以没有一件家私。

门打开了，关咏荷走了进来 (-_-!)，手里拿着一封信。后面是张家辉（-_-!）。他们路过新屋，当然开心地上来看看。

一面迷惑的关咏荷转过头：“点解会有封信的？” “你体下先～～”，张家辉顾着关门，并没有看到那封信。

信是寄往王xx 小姐，关咏荷跟张家辉说。

张打开窗户，向楼下5 楼处的看更 x 伯（可能系王伯）大喊一声：喂，x伯，乜呢度以前有住过个王小姐咩？
（背景描述：空屋位置大约7 楼，x 伯虽然在同一栋楼，但是该楼设计是使得两个窗户的垂直线相互垂直，所以张家辉事实上能看到x 伯，只是不太清楚。）

x 伯翻了翻入住登记，回喊道：“无啊！” “王xx 喔！” x 伯又翻了翻（入住登记好像居然有alphabetical 的……）。

“哦，有啊有啊，不过果个女的两三年前已经死左了bo！”

张家辉顿了一顿，转过头把x 伯的话告诉关咏荷。关不由得毛骨悚然。“有无搞错啊，个肥仔聪，又话5 年內无转租过的！” 关咏荷慌慌张张要拿起电话质问租与他们的肥仔聪。“系咯系咯，快d 问下。” 张家辉虽然要做出镇静的模样，但显然还是有些不安。

电话接通了。“吓？ 我真系无租过给人喔！” 肥仔聪把声。“无？人地x 伯的入住登记有哦！” “x 伯？几年之前死左了bo！”

关一脸恐怖地看着张家辉，张还有些紧张地问：“点姐，他点讲啊？”

关并没有听到x 伯的话，是张转述给她的。

假设1：鬼总希望掩饰自己的身份。
假设2：在假设1 满足的条件下，他们希望尽量多地证明（或者屈）别人是鬼。

问题1：为了make sense 以上故事，最少有多少个人是鬼或者事实上并没有出现过（只是谎言里出现）？
问题2：假设你可以加一句旁白故事，但必须使得问题1 的答案至少减少2，那答案是多少？

我想讲呢，d 假设同问题5 系我醒的时候想的，系梦的一部分…… 呢个好似一个游戏节目甘，而且到某个关键情节的时候就会出现一个奇怪的十字架督住个8 字中间的金色符号，剧情倾向张家辉系鬼的时候d 光线就照向左半边的符号，倾向关咏荷系鬼的时候照向右半边…… 所以醒来的时候都几惊……

囧事一则

话说昨日与老板meet，只谈了两句写的东西怎么怎么改，老板便开始问起最近学的Mirror symmetry 如何如何。原以为老板对此没有兴趣（当然现在也只是说“自己先摸一摸”……），大大地受宠若惊，唾沫飞溅地开始advertising。说到某处，欲讲道“zwy(师兄之名讳) 也不是很关心这个”，脱口而出竟成了“ltj(老板之名讳)也不是很关心这个！”……

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当时仿佛有个大大的“囧”字砸在头上…… 办公室内气氛诡异……

自我介绍

我是站长的网友，现在在读geometric langlands和arithmetic langlands的一些内容，欢迎交流。我的MSN是Kanexyz at hotmail dot com。

浅谈主丛上的全纯结构

这个也是一晚上随手乱打的，以后慢慢写

G -> P -> M

G是compact lie group，P是principle bundle，在此先看M是黎曼曲面的情况。

有了主丛，可以考虑怎么在上面做各种各样的复结构，模仿T*M的例子，做出partial和partial bar方向，使得form有hodge分解，且partial^2=0，partialbar^2=0，当然以上的内容也可以用J来表述，我们知道 almost complex structure好办，integrability麻烦，因为要解非线性的方程。

看这样的例子：k is even, 考虑P^1上面的O + O(k)这个rank2复丛，那么它的chern number是k所以这个复丛在holomorphic的意义下非平凡，但是它在拓扑的意义下却是平凡的。

为什么拓扑上平凡？因为可以从obstruction theory看，考虑structure group SO(4)【可以要求oriented，w1=0】，pi1=Z/2，所以k is even，c1过去变w2 => 在S^2上面是trivial的，因为S^2只有两维，我们要考虑的只是H^1(M, G) which is trivial if G is connected，还有H^2(M, pi1(G))，而这时也没有了。

Or consider this: we are already in stable [K-theory sense] range. KO(S2)=Z+Z/2 [rank, w2]; K(S2)=Z+Z [rank, c1]; therefore K(S2) -> KO(S2) will tell us that some nontrivial complex bundles are actually trivial real bundles. On the other hand, if the bundle is real 2-d then there is stability issue. For example, TS2 is nontrivial.

anyway，这里也有holomorphic stable bundle的问题，O+O(k)是unstable，不存在一个在moduli space of holomorphic structure中的homotopy从它走到stable的情况。

于是下面看复结构的模空间的拓扑。先考虑U(n)的情况，给定了一个rank n，chern k的bundle，想知道$M$(n,k) = moduli space of holomorphic structure是长什么样的。

结果发现有多种算法：

$M$ = A//$G$^c = Aym/$G$ = G^2g//G = Hom(Gamma_R, G)

A是space of connections
//是GIT quotient
$G$是gauge group
$G$^c是complexified gauge group
Aym是yang-mills connections
G是structure group
g是M的genus
Gamma_R是pi(M)的universal central extension中再从Z扩展到R

而且我们有一个matching:
Gamma_R中那个特定的central元素映射到G中的像的本征值，对应到A所对应的complex structure给出的jordan-holder filtration中的subbundle的slope！
个人认为这个很像frobenius eigenvalue hecke eigenvalue。

A//$G$^c = Aym/$G$这个matching的有限维类比是GIT quotient = Sympletic reduction，例如CP2//C* = S3/S1 = S2。而实际上无限维的证明是靠比较两边filtration的情况。

四维M的时候也有类似的类比。例如四维y-m的解与M上bundle的stability；Donaldson theory中ASD connection与twistor bundle上的holomorphic structure。

八十年代做的事情首先是算$M(n,d)$的equivariant poincare polynomial，然后有newstead conjecture说$M(n,d)$的高次chern class全部vanish，n=2的情况在八十年代用degenration的方法解决了。而且当时又发现可以用nonablian localization来解这个方程，可以算出n=2时的整个cohomology intersection ring。n高次的猜想在前两年被解决了，方法是把整个intersection ring也是用localization算出来，然后拿这些chern class和全部class做pairing，发现结果都是0，结果就证明了它们vanish。但是如何给更好的证明呢？这是我在做的问题。

迟点继续写怎么算poincare polynomial。其实很简单的。

Proving The Last Theorem

一个晚上乱写的，以后补充具体细节。

从直觉而言，”概率”上看很难很难有这么三个非平凡的自然数a, b, c使得a^p + b^p = c^p，尤其是我们已经知道p=3,4,5…等等很多情况已经被否决的时候。幂越大，恐怕越来越难有这种巧合才对。

于是想法是，如果真有这四个不可思议的数a, b, c, p，或许将可以构造出更多的奇怪的事情。后来构造出一个[Frey] Curve，它的ramification locus特别少，通过[Taniyama, Shimura, Weil]对应到一个同样奇怪的cusp form，它可以通过level lowing [Serre, Ribet]不断地降level，一直降到level=2，但是不存在level=2的cusp form [Riemann, Roch]，所以不存在定理的反例。

这类证明的最简单版本就是证明 根号2 不是有理数，也就是不存在自然数a和b使得a^2 = 2 * b^2，因为如果存在a和b那么可以构建出严格更小的a和b [Euclid]，而自然数不能无限缩小。这个证明，所谓的无穷递降法，无疑在最奇妙的事情之列，定理的p=3,4等等情况[Fermat, Euler]在当时同样是用这个思路证明，[Kummer]通过研究cyclotomic field证明了对于60%左右的p都不会存在反例，后来这种方法还被用来顺带证明了即使费马大定理对于某个p有反例，那么反例的数量也必然有限 [Mordell, Faltings]。

最终问题的解决，原则上的思路是 [Langlands, Serre, etc.]：【以下的p和上面的p没有关系】
***Modularity Conjecture*** Elliptic Curve => 2-d [Galois] Representation => 2-d Automorphic Representation => Modular Form
E => rho_E,p : Gal(Qbar/Q) -> GL2(Z_p) => pi_rho => f，并且f在S2(gamma0(N))里面，N是E的conductor，gamma0是相应的modular group，S2是cusp form of weight 2。
q + 1 – #E(F_q) = rho(Frob_q) = pi_rho(T_q) = a_p(f)，Frob_q是[Frobenius] operator，T_q是[Hecke] operator。

而实际上又要分四步走，将上面的事情”各证一遍 “：
GL2(C) => GL2(F_p) => GL2(Z_p) => “GL2(Z)”

事实是，证明事情对于极少数的p成立就够了，例如3，最多配合一些技巧再加上5，而这也几乎是大家唯一会直接证明的两种情况。例如证明中需要用到这个事实：PGL2(F_3)是A_4，solvable!

GL2是2维的矩阵群，PGL2是projective子群。注意到Z = integer 已经在 Z_p = p-adic integer 里面，Z_p 可以被约化成 F_p = finite field of p elements，F_p 可以嵌入 C = complex number。

于是最难的是F_p => Z_p 这一步了[Wiles, Taylor, etc.]，叫做modularity lifting。

1) Modularity of the GL2(C) case

假设有一个2-d galois representation，要求irreducible & odd，且在PGL2(C)中的image是solvable group。这个representation factors through一个Gal(K/Q)，在PGL2(C)中的像有限，而PGL2(C)的有限子群实际上只有几种关键的情况：D_2n, A_4, S_4, A_5，对应到”球”，四面体，八面体，二十面体 [Dickson, Plato]，其中二十面体的情况不是solvable。道理上看，PGL2(C)是SO3(R)的complexification。SO3(R)是三维空间的对称性，三维空间中高度对称的有趣事物就只有这些了。

D_2n的情况是[Hecke, Maass]古典理论。提一下，dihedral D6 = S3的case，可以用induced representation来解决：
0 -> Z3 -> S3 -> Z2 -> 0
Z2的部分是imaginary quadratic field，所以可以很容易变成一个2-d representation。
D2n在n一般的情况下也是用trace formula全部解决了。

剩下两种根据[Langlands, Tunnell]也可以找到一个automorphic representation，证明这一点需要靠trace formula证明”base change”，即研究number field的cyclic extension对于automorphic representation的效应，接着就可以试图一层层抬上去，利用1->D2->A4->Z3->1和 1->A4->S4->Z2->1。最后说明可以变成一个具体的modular form，在S1(gamma0(N1))里面for some N1，注意这个form是weight 1。

2) Lifting to GL2(F_3)，那么q + 1 – #E(F_q) = rho(Frob_q) = pi_rho(T_q) = a_p(f) (mod 3)

乘上一个[Eisenstein] series of weight 1，且满足常数项是1，非常数项都能被3整除，于是得到一个东西在S2(gamma0(3*N1))里面，但是还不是hecke eigenform，要用[Deligne, Serre]的一个定理说明可以找到一个对应的hecke eigenform。

3) ***Galois Deformation*** Lifting to GL2(Z_3)

这是最复杂的地方。因为不能直接走过去，只能这样证明：构造一个universal deformation ring R，是”必经之路”，就是如果存在Gal(Qbar/Q) -> GL2(k) -> GL2(F_3)使得与rho一致，那么必然有Gal(Qbar/Q) -> GL2(R) -> GL2(k) -> GL2(F_3)，再构造一个T，是”合理之路”，也就是最终可以通往modular form的道路，那么T首先可以被放在R里面，关键是可以证明：R = T。那么无论怎么走都是我们想要的结果，做为特例而言，k=Z_3的时候也成立。证明需要算两者的一些性质，然后观察到符合度足够高，need super heavy machineries!

4) GL2(Z_3)是char 0，Z已经在Z_3里面了。于是我们成功地去掉了(mod 3)这一条，完成了证明。

在实际的严格证明中，irreducible的问题会导致在以上的证明中需要考虑更多事情，例如3-5 trick etc。